Du collège au lycée : l'évolution du concept de fonction
Au collège, nous nous concentrons sur la variation d'une « variable » en fonction d'une autre. Toutefois,Leibniz a initialement utilisé le terme « fonction » pour désigner des quantités géométriques variant selon une courbe (coordonnées, tangentes, etc.) ;Euler il l'a défini comme une relation de dépendance entre variables ; jusqu'à ce que Dirichlet propose : si pour chaque valeur de $x$, il existe toujours une valeur unique $y$ qui lui correspond, alors $y$ est une fonction de $x$. Cette avancée marque l'entrée des fonctions dans l'ère des relations correspondantes.
Pensez-y : Comparez la définition scolaire des fonctions avec celle basée sur les ensembles. Quelle nouvelle compréhension avez-vous des fonctions ?
Au collège, nous nous concentrons sur la variation d'une « variable » en fonction d'une autre. Toutefois,Leibniz a initialement utilisé le terme « fonction » pour désigner des quantités géométriques variant selon une courbe (coordonnées, tangentes, etc.) ;Euler il l'a défini comme une relation de dépendance entre variables ; jusqu'à ce que Dirichlet propose : si pour chaque valeur de $x$, il existe toujours une valeur unique $y$ qui lui correspond, alors $y$ est une fonction de $x$. Cette avancée marque l'entrée des fonctions dans l'ère des relations correspondantes.
Pensez-y : Comparez la définition scolaire des fonctions avec celle basée sur les ensembles. Quelle nouvelle compréhension avez-vous des fonctions ?
Critères de cohérence des fonctions : Pour déterminer si deux fonctions sont identiques, elles doivent simultanément satisfaire :un domaine de définition identique et une relation de correspondance identiqueL'utilisation de lettres différentes pour les variables (comme $x$ ou $t$) n'affecte pas l'essence même de la fonction.
$$f: A \to B \text{ (trois éléments clés : domaine } A, \text{ image } C \subseteq B, \text{ relation } f)$$
1. Rassemblez les termes du polynôme : un carré de $x^2$, trois bandes rectangulaires de $x$, et deux petits carrés unités de $1\times1$.
2. Commencez à les assembler géométriquement.
3. 它们完美地形成了一个更大的连续长方形！宽度是 (x+2)，高度是 (x+1)。
QUESTION 1
Déterminez le domaine de définition de la fonction $f(x) = \frac{1}{4x+7}$.
$\{x \mid x \neq -\frac{7}{4}\}$
$\{x \mid x > -\frac{7}{4}\}$
$\{x \mid x \in \mathbb{R}\}$
$\{x \mid x \neq \frac{7}{4}\}$
Correct ! Selon la règle selon laquelle le dénominateur d'une fraction ne peut être nul, $4x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7/4$.
Erreur. Retenez cette alerte : lorsqu'on cherche le domaine de définition, le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être nul.
QUESTION 2
Déterminez parmi les paires suivantes, lesquelles représentent la même fonction pour $f(x)$ et $g(x)$ ?
$f(x)=x-1, g(x)=\frac{x^2}{x}-1$
$f(x)=x^2, g(x)=(\sqrt{x})^4$
$f(x)=x^2, g(x)=\sqrt[3]{x^6}$
$f(x)=1, g(x)=x^0$
Correct ! Pour (3), $f(x)=x^2$ a un domaine de définition égal à $\mathbb{R}$, et $\sqrt[3]{x^6} = x^{6/3} = x^2$ avec également un domaine de définition $\mathbb{R}$. Les autres options ont des domaines de définition différents.
Erreur. Le critère pour qu'une fonction soit considérée comme identique est que son domaine de définition et sa relation de correspondance soient exactement identiques.
QUESTION 3
Déterminez le domaine de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{1-x} + \sqrt{x+3}-1$.
$[-3, 1]$
$(-3, 1)$
$(-\infty, 1]$
$[-3, +\infty)$
Correct ! La quantité sous une racine paire doit être non négative : $1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$ et $x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$. En prenant l'intersection, on obtient $[-3, 1]$.
Erreur. Veuillez noter : la quantité sous une racine paire doit être non négative, et toutes les contraintes liées aux différentes racines doivent être respectées simultanément.
QUESTION 4
Les fonctions $h=130t-5t^2$ et $y=130x-5x^2$ sont-elles identiques ?
Oui, le choix des lettres pour les variables n'affecte pas la relation fonctionnelle
Non, les lettres utilisées pour les variables indépendantes sont différentes
Non, leurs significations physiques diffèrent
Impossible de juger, car le domaine de définition n'est pas précisé
Correct ! L'essence d'une fonction réside dans sa relation de correspondance et son domaine de définition. Le nom de la variable ($t$ ou $x$) est simplement un symbole, cela n'affecte pas la cohérence des fonctions.
Erreur. Les symboles utilisés pour les variables sont simplement des supports. Tant que le domaine de définition et la règle de correspondance sont identiques, les fonctions sont considérées comme identiques.
QUESTION 5
Déterminez le domaine de définition de la fonction $f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{x-1}$.
$\{x \mid x \le 4 \text{ et } x \neq 1\}$
$\{x \mid x < 4 \text{ et } x \neq 1\}$
$\{x \mid x \le 4\}$
$\{x \mid x \neq 1\}$
Correct ! Le numérateur impose $4-x \ge 0 \Rightarrow x \le 4$, et le dénominateur impose $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Erreur. Il faut tenir compte simultanément des deux conditions : la quantité sous la racine doit être non négative, et le dénominateur ne doit pas être nul.
QUESTION 6
Dans l'exemple 3, quelle fonction parmi celles-ci est identique à $y=x$ ?
$y=(\sqrt{x})^2$
$u=\sqrt[3]{v^3}$
$y=\sqrt{x^2}$
$m=\frac{n^2}{n}$
Correct ! $u=\sqrt[3]{v^3}=v$, avec un domaine de définition égal à $\mathbb{R}$, identique à $y=x$. (1) Domaine : $[0, +\infty)$, (3) Relation correspondante : $|x|$, (4) Domaine : $n \neq 0$.
Erreur. Vérifiez attentivement les domaines de définition de chaque option. Par exemple, $(\sqrt{x})^2$ exige $x \ge 0$.
QUESTION 7
Quel est le domaine de définition de la fonction $f(x)=\sqrt{x^5}$ ?
$[0, +\infty)$
$(0, +\infty)$
$\mathbb{R}$
$(-\infty, 0]$
Correct ! $x^5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Erreur. Sous une racine paire, $x^5$ doit être supérieur ou égal à zéro.
QUESTION 8
Déterminez le domaine de définition de $f(x)=\frac{6}{x^2-3x+2}$.
$\{x \mid x \neq 1 \text{ et } x \neq 2\}$
$\{x \mid x \neq 1 \text{ ou } x \neq 2\}$
$\{x \mid x < 1 \text{ ou } x > 2\}$
$\{x \mid 1 < x < 2\}$
Correct ! Le dénominateur $(x-1)(x-2) \neq 0$.
Erreur. Le dénominateur ne peut être nul, donc $x$ ne peut pas être égal à l'une quelconque des racines de l'équation.
QUESTION 9
Le critère permettant de déterminer si une figure représente une fonction est :
Toute droite perpendiculaire à l'axe des $x$ ne peut avoir qu'un seul point d'intersection avec la courbe
Toute droite perpendiculaire à l'axe des $y$ ne peut avoir qu'un seul point d'intersection avec la courbe
La courbe doit être une ligne continue
La courbe doit passer par l'origine
Correct ! Selon le principe d'unicité, chaque valeur de $x$ ne peut correspondre qu'à une seule valeur de $y$.
Erreur. Pensez-y : pour chaque valeur de $x$, $y$ a-t-il toujours une valeur unique correspondante ?
Défi : Application combinée des fonctions et raisonnement logique
De la construction de modèles à la démonstration rigoureuse
Q1
Un magazine est vendu initialement à 2,5 € pièce, avec une vente de 80 000 exemplaires. Selon une enquête de marché, chaque augmentation de prix de 0,1 € entraîne une baisse de 2 000 ventes. À quel prix doit-on fixer le prix pour que le revenu total après augmentation soit d'au moins 200 000 € ?
Étapes de résolution :
1. Soit $x \ge 0$ le nombre de fois où le prix augmente de 0,1 €. Alors le prix devient $2,5 + 0,1x$ €, et la quantité vendue est $8 - 0,2x$ (en dizaines de milliers).
2. La fonction de revenu total est $y = (2,5 + 0,1x)(8 - 0,2x)$.
3. Établir l'inéquation : $(2,5 + 0,1x)(8 - 0,2x) \ge 20$.
4. Simplifier : $20 - 0,5x + 0,8x - 0,02x^2 \ge 20 \Rightarrow 0,3x - 0,02x^2 \ge 0$.
5. On obtient $0 \le x \le 15$.
Conclusion : L'augmentation de prix doit se situer entre 0 et 1,5 €, c'est-à-dire que le prix doit être fixé entre 2,5 et 4,0 €.
1. Soit $x \ge 0$ le nombre de fois où le prix augmente de 0,1 €. Alors le prix devient $2,5 + 0,1x$ €, et la quantité vendue est $8 - 0,2x$ (en dizaines de milliers).
2. La fonction de revenu total est $y = (2,5 + 0,1x)(8 - 0,2x)$.
3. Établir l'inéquation : $(2,5 + 0,1x)(8 - 0,2x) \ge 20$.
4. Simplifier : $20 - 0,5x + 0,8x - 0,02x^2 \ge 20 \Rightarrow 0,3x - 0,02x^2 \ge 0$.
5. On obtient $0 \le x \le 15$.
Conclusion : L'augmentation de prix doit se situer entre 0 et 1,5 €, c'est-à-dire que le prix doit être fixé entre 2,5 et 4,0 €.
Q2
Prédiction de tempête tropicale : le centre de la tempête est situé à 600 km au sud-est du port, sous un angle de $45^\circ$, et se déplace à 20 km/h vers le nord. Son rayon d'influence est de 450 km. Combien de temps faudra-t-il avant que le port soit touché ? Quelle sera la durée totale de l'impact ?
Étapes de résolution :
1. Établissons un repère cartésien avec le port au point $(0,0)$. La position initiale est $(300\sqrt{2}, -300\sqrt{2}) \approx (424,3, -424,3)$.
2. Après $t$ heures, les coordonnées sont $(424,3, 20t - 424,3)$.
3. Le carré de la distance est $d^2 = 424,3^2 + (20t - 424,3)^2 \le 450^2$.
4. 解得 $(20t - 424.3)^2 \le 22470 \Rightarrow |20t - 424.3| \le 149.9$。
5. $13,7 \le t \le 28,7$.
Conclusion : Le port sera affecté environ après 13,7 heures, et l'impact durera environ 15,0 heures.
1. Établissons un repère cartésien avec le port au point $(0,0)$. La position initiale est $(300\sqrt{2}, -300\sqrt{2}) \approx (424,3, -424,3)$.
2. Après $t$ heures, les coordonnées sont $(424,3, 20t - 424,3)$.
3. Le carré de la distance est $d^2 = 424,3^2 + (20t - 424,3)^2 \le 450^2$.
4. 解得 $(20t - 424.3)^2 \le 22470 \Rightarrow |20t - 424.3| \le 149.9$。
5. $13,7 \le t \le 28,7$.
Conclusion : Le port sera affecté environ après 13,7 heures, et l'impact durera environ 15,0 heures.
Q3
Démontrer que la fonction $f(x) = -\frac{2}{x}$ est strictement croissante sur l'intervalle $(-\infty, 0)$.
Preuve :
1. Soient $x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$ tels que $x_1 < x_2$.
2. Calculons la différence : $f(x_1) - f(x_2) = -\frac{2}{x_1} - (-\frac{2}{x_2}) = \frac{2}{x_2} - \frac{2}{x_1} = \frac{2(x_1 - x_2)}{x_1x_2}$.
3. Analyse du signe : puisque $x_1 < x_2$, on a $x_1 - x_2 < 0$ ; et comme $x_1, x_2 < 0$, on a $x_1x_2 > 0$.
4. Conclusion : $f(x_1) - f(x_2) < 0$, donc $f(x_1) < f(x_2)$. Ainsi, la fonction est strictement croissante sur $(-\infty, 0)$.
1. Soient $x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$ tels que $x_1 < x_2$.
2. Calculons la différence : $f(x_1) - f(x_2) = -\frac{2}{x_1} - (-\frac{2}{x_2}) = \frac{2}{x_2} - \frac{2}{x_1} = \frac{2(x_1 - x_2)}{x_1x_2}$.
3. Analyse du signe : puisque $x_1 < x_2$, on a $x_1 - x_2 < 0$ ; et comme $x_1, x_2 < 0$, on a $x_1x_2 > 0$.
4. Conclusion : $f(x_1) - f(x_2) < 0$, donc $f(x_1) < f(x_2)$. Ainsi, la fonction est strictement croissante sur $(-\infty, 0)$.
Q4
Un tronc cylindrique de rayon $25\text{ cm}$ est scié pour produire une pièce rectangulaire. Une des dimensions est $x$, exprimez l'aire $y$ en fonction de $x$.
Étapes de résolution :
1. La diagonale du rectangle est égale au diamètre du cylindre, soit $D = 50\text{ cm}$.
2. L'autre côté du rectangle est $\sqrt{50^2 - x^2}$.
3. L'aire est $y = x\sqrt{2500 - x^2}$.
4. Attention au domaine : $x \in (0, 50)$.
1. La diagonale du rectangle est égale au diamètre du cylindre, soit $D = 50\text{ cm}$.
2. L'autre côté du rectangle est $\sqrt{50^2 - x^2}$.
3. L'aire est $y = x\sqrt{2500 - x^2}$.
4. Attention au domaine : $x \in (0, 50)$.
✨ Points clés
Pour tout $x$ dans l'ensemble $A$,correspond exactement $y$ dans $B$.Regardez les trois éléments essentiels :domaine de définitionet la relation.Avant de conclure qu'ils sont identiques,le domainedoit être identique.
💡 Principe de priorité du domaine de définition
Lorsqu'on cherche le domaine de définition, le dénominateur d'une fraction ne peut être nul, et la quantité sous une racine paire doit être non négative. Avant d'analyser les propriétés de la fonction, assurez-vous toujours de bien définir son domaine.
💡 Critère d'identité des fonctions
Si le domaine de définition et la relation de correspondance sont exactement identiques, les fonctions sont considérées comme identiques. Le changement de lettre utilisée pour les variables (par exemple, $x$ en $t$) n'affecte pas la fonction elle-même.
💡 Méthode en cinq étapes pour prouver la monotonie
Choix des valeurs ($x_1 < x_2$) → Différence ($f(x_1)-f(x_2)$) → Transformation (factorisation / mise au même dénominateur) → Analyse du signe → Conclusion.
💡 Points importants sur la notation des intervalles
Un point plein correspond à un intervalle fermé [ ], un point creux à un intervalle ouvert ( ). Le symbole d'infini $\infty$ est toujours suivi d'une parenthèse ouverte.
💡 Modélisation des problèmes concrets
Lorsqu'on résout des problèmes concrets (comme les impôts personnels, les déplacements), il faut toujours prêter attention au sens physique des variables, car cela détermine généralement le domaine de définition de la fonction.